Обзор свободных программ для численных расчётов

Хочу предложить небольшой обзор свободного программного обеспечения для численных расчётов. Прежде всего для решения систем уравнений в частных производных (УрЧП). Решать их нужно во многих инженерных и начных областях (в гидродинамике, теории упругости, теплопроводности, электромагнетизме и других). К счастью, в этой области написано много качественных свободных программ. И учитывая, что GNU/Linux — сегодня главная платформа для численных расчётов, это неудивительно. К сожалению, не все, кому приходится впервые сталкиваться с численными расчётами знают об этих программах. Чаще всего на слуху пара названий коммерческих продуктов с закрытым исходным кодом, ограниченными возможностями расширения и астрономической ценой. Этим мини-обзором я хочу исправить такую ситуацию и рассказать о свободных программах. Я надеюсь, этот обзор будет полезен тем, кто начинает заниматься численными расчётами и ищет подходящее программное обеспечение.

Обзор я построю от простого (математически) к сложному. Практически все численные методы решения уравнений в частных производных сводятся к решению систем линейных уравнений. Решать их приходится часто и много. Поэтому вначале я расскажу о программном обеспечении необходимом для решения систем линейных уравнений, а затем уже о прикладных программных пакетах, облегчающих применение тех или иных методов (конечных элементов, конечных объёмов, конечных разностей) для решения собственно уравнений в частных производных. Большинство пользователей заинтересовано именно в программах из второй группы, но понимание того, что находится «под капотом» необходимо.

Основы

Линейная алгебра

Работа с системами линейных уравнений означает, что программа должна эффективно работать с матрицами и векторами. Общепринятым «стандартом» для операций с ними являются библиотеки BLAS (основные операции) и LAPACK. Оптимизация этих библиотек оказывает большое влияние на эффективность работы программ.

• BLAS, есть несколько программных реализаций, свободные: BLAS c netlib, автоматически оптимизированный ATLAS; несвободные: MKL (Intel), GotoBLAS и другие
  
• LAPACK
  

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений более сложная задача. Здесь есть множество математических методов. Не все работают одинаково хорошо во всех возможных случаях. Методы делят на прямые и итерационные. Соответсвенно и библиотеки для решения систем линейных уравнений я разделяю по этому признаку. Многие из этих библиотек используются как в свободных, так и в коммерческих программах.

• Прямые методы
  
  • UMFPACK
    
  • SuperLU
    
  • TAUCS (библиотека включает и итерационные алгоритмы)
• Итерационные методы
  
  • Многие методы могут быть легко реализованы самостоятельно, см. книжку Templates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods
    
  • PETSc (возможность распараллеливания по MPI)
    
  • LASPACK (включает многосеточные методы, но годится только для последовательных машин)
    
  • TAUCS (библиотека включает и прямые алгоритмы)
    
  • Aztec (библиотека для параллельного итерационного решения линейных систем, эффективная, с доступным исходным кодом, но несвободной лицензией)

Работа с (разреженными) матрицами

Особенностью решения уравнений в частных производных — необходимость решать системы линейных уравнений с очень большим числом переменных, но при этом соответствующие матрицы имеют большое количество нулевых элементов (являются разреженными). Практически любой расчёт станет невозможным, если хранить все эти нулевые элементы в памяти компьютера. Соответственно, очень важна способность программного обеспечения эффективно работать именно с разреженными матрицами (хранить в памяти только ненулевые элементы). В большинстве языков программирования это достигается использованием специальных библиотек:

• Fortran
  
  • UMFPACK
    
  • SuperLU
    
  • PETSc
    
  • SPARSKIT2
• C
  
  • UMFPACK
    
  • SuperLU
    
  • PETSc
    
  • TAUCS
• C++ (часто предоставляется более удобный и наглядный синтаксис операций)
  
  • TNT (просто и сердито, один inlcude-файл)
    
  • FLENS (включает также эффективный, удобный и элегантный интерфейс к BLAS и LAPACK)
    
  • uBLAS (интерфейс к BLAS из коллекции библиотек Boost)
    
  • GMM++ (предоставляет единый интерфейс к разным решателям, успешно используется в GetFEM++)
    
  • Blitz++ (вообще говоря, не поддерживает разреженные матрицы, но это очень эффективная библиотека, если нужны плотные многомерные матричные структуры, но без линейной алгебры)
    
  • Seldon (не пробовал)
    
  • SparseLib++ (не пробовал)
    
  • + всё то же самое, что и в C
• Python
  
  • PySparse (есть в Debian)
    
  • petsc2py (интерфейкс к PETSc из Python)

Ознакомьтесь также со сравнением производительности C++-библиотек для работы с разреженными матрицами, если вас интересуют вопросы быстродействия.

Прикладные программные пакеты и библиотеки

Переходим к решению собственно систем уравнений в частных производных. Три наиболее используемых математических метода: метод конечных элементов, метод конечных объёмов и метод конечных разностей.

Именно так я и сгруппирую программные пакеты: по типу реализованного математического метода. После имени пакета указаны его основные особенности, такие как размерность задачи на которую он рассчитан или язык программирования с которым он может применяться.

Метод конечных элементов (FEM):

Elmer

1-2-3D, проект рассчитаный на решение задач из разных областей физики: теплопроводности, гидродинамики, механики твёрдого тела, акустики, электромагнетизма, квантовой механики; задачи описываются в виде легко читаемых текстовых файлов, есть неплохой графический интерфейс, поддерживает распараллеливание по MPI, лицензия GPL

FreeFEM++

2D, свой язык программирования транслируемый в C++, типизированный C-подобный, со встроенными типами триангуляций и пространств конечных элементов, код получается понятен, краток и приближен к математической записи задачи в слабой форме — но поддерживаются только треугольные элементы (включая DG- и мини-элементы), хорошая документация, много примеров использования на разных задачах, кроссплатформенный инструмент, лицензия LGPL

FreeFEM3D

3D вариант FreeFEM++, с другими разработчиками, но со схожей идеологией, на сегодняшний день с несколько меньшей фукнциональностью, поддерживает конструктивное описание геометрии задачи

Gerris

2D-3D, пакет ориентированный на решение задач вычислительной гидродинамики (несжимаемаемые течения, уравнения Эйлера, Стокса или Навье–Стокса), поддерживает адаптивные сетки, расчёт переноса веществ в жидкости, распараллеливание по MPI, использует метод Volume-of-Fluid для отслеживания границы между жидкостями, постановка задачи описывается в виде графа, геометрия твердых объектов может быть импортирована из приложений CAD и 3D-моделирования, лицензия GPL

GetDP

1-2-3D, формальное описание проблемы с помощью специального языка, приближенное к математической формулировке, в некотором смысле идеологически близок FreeFEM++, может решать интегро-дифференциальные задачи, в данный момент заточен под задачи из области электромагнетизма, акустики, теплопроводности и механики, ищут добровольцев готовых применить GetDP в области гидродинамики, лицензия GPL

Impact

3D, пакет для расчётов методом конечных элементов упругих и упругопластичных деформаций при ударах, написан на Java, имеет графический интерфейс, лицензия GPL, для визуализации полагается на несвободный, но бесплатный для академичекого использования, GiD

Code_Aster

1-2-3D, очень большой (миллион строк кода, более 360 разных конечных элементов) пакет для расчётов задач механики сплошных сред, термо- и гидродинамики, акустики и магнетизма и других, заметна ориентация проекта на инженерные приложения, поддерживается язык программирования Python, лицензия GPL, документация преимущественно на французском языке

Deal.II

1-2-3D, библиотека для C++, получила в 2007 году премию Вилкинсона, хорошая документация, локальная адаптация сеток, p- и hp- методы, встроенные средства создания сеток, автоматическое распараллеливание сборки линейной системы и других операций на многоядерных/многопроцессорных машинах (SMP), поддержка кластерного параллелизма (MPI), но выбор элементов беднее, чем в GetFEM++, лицензия QPL

FETK

2D-3D, набор объектно-ориентированных библиотек Си, ориентирован на решение эллиптических уравнений, поддерживает адаптивные сетки и предлагает необычный способ распараллеливания решения (помимо MPI), можно использовать все возможности из bash-подобной оболочки (интерпретатора), есть упрощённая 2D версия для matlab, лицензия GPL

GetFEM++

1-2-3-…-ND, библиотека для C++, есть интерфейсы высокого уровня для Matlab и для Python (!), поддерживает большое количество типов конечных элементов, включая экзотичные, вроде X-FEM, практически любой размерности, есть возможность программирования типовых задач с помощью готовых «кирпичиков», избегая явной сборки линейной системы, отсутствуют встроенные средства создания сеток, можно пользоваться внешними, библиотека кроссплатформенна

LibMesh

1-2-3D, библиотека для C++ с возможностью локальной адаптации сеток, параллельное решение линейных систем с помощью PETSc (MPI), поддерживает безматричные методы, выбор элементов шире, чем в Deal.II

LifeV

2D-3D, C++, основные области применения: гидродинамика, теплопроводность, перенос массы и взаимодействие жидкость–структура в пористых средах

Ofeli

2D-3D, библиотека C++, среди примеров есть задачи теплопроводости, решения уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости, теории упругости (2D и 3D), электромагнетизма, лицензия GPL

Rheolef

1-2-3D, библиотека для C++, код получается краток и приближен к математической записи задачи в слабой форме, автоматическая адаптация сеток для 2D задач

MODULEF

довольно продвинутая библиотека для Fortran77

FEATFLOW

2D-3D, библиотеки для Fortran, пакет ориентирован на решение уравнений Навье–Стокса для течения несжимаемых жидкостей, лицензия типа BSD

OpenFEM

довольно продвинутая библиотека для Matlab и Scilab, но версия для свободного Scilab развивается менее активно

Mélina

2D-3D, библиотека для Fortran, документирована исключительно на французском языке

FEAPpv

библиотека для Fortran, для задач теории упругости и теплопроводности, распространяется бесплатно и в качестве приложения к книге, но лицензия неясна, является урезанной версией несвободной библиотеки FEAP

Метод конечных объёмов (FV):

Dolfin/FEniCS

С++ и Python интерфейсы к системе решения задач FEniCS, хорошая поддержка в Debian и Ubuntu, код приближен к математической постановке задачи в слабой форме, но получается длиннее, чем в FreeFEM++, в силу того, что Python язык универсальный; вообще под зонтиком FEniCS объединено сразу несколько интересных проектов

FiPy

библиотека для Python, удобная запись задачи, приближенная к математической записи в сильной форме, получается простой и краткий код, решает задачи типа реакция–диффузия–конвекция в 1-2-3D, но не работает с областями со сложной геометрией, библиотека кроссплатформенна

OpenFOAM

визуальная среда + библиотека C++, огромный проект, заточен прежде всего под задачи гидродинамики, кроссплатформенный, у меня пока с ним не сложилось

Overture

пакет C++ библиотек для расчётов на сложных и перекрывающихся сетках методами конечных разностей и конечных объёмов, поддерживает MPI, основной упор на гидродинамику и теорию горения. Лицензия несвободная, запрещает коммерческое использование.

Метод конечных разностей (FD): Здесь можно резко упростить себе жизнь: для этого годится любая библиотека, предоставляющая удобный интерфейс для работы с разреженными матрицами и решателями линейных систем. Заполнение матрицы обычно очевидно из используемой численной схемы. Можно порекомендовать следующие комбинации:

• Python с PySparse
  
• C++ с GMM++ или каким-нибудь другим из решателей линейных систем (см. выше)
  
• C или Fortran с любым подходящим решателем линейных систем
  
• Overture (см. выше)

Универсальные среды для расчётов и прототипирования (замена Matlab)

Помимо специализированных пакетов описанных выше, есть также свободное ПО для «быстрого и лёгкого» программирования расчётов. Производительность в этом случае обычно приносится в жертву лёгкости программирования и широким функциональным возможностям (универсальности). Приспособить их можно и для решения уравнений в частных производных. Из таких универсальных сред я хочу упомянуть:

Python

Просто удобный язык программирования, но в комбинации с возможностями NumPy/SciPy, графическими возможностями matplotlib (pylab) или VTK/MayaVi, вместе с библиотекой PySparse для работы с разреженными матрицами, многими библиотеками для численных расчётов, удобством интерпретируемого языка программирования и интерактивной оболочкой ipython — на сегодня Python это уже довольно серьёзный инструмент вычислителя. Мне нравится вот эта быстрая вводная книжка по его использованию: Practical Scientific Computing in Python. Для решения УрЧП можно использовать GetFEM++, Dolfin/FEniCS или FiPy.

Scilab

Свободная альтернатива Matlab. Активно развивается и спонсируется. Много возможностей. Для решения УрЧП есть OpenFEM.

Octave

Вроде как позиционируется в качестве замены Мatlab, но вот с решением уравнений в частных производных как-то тихо. Я нашёл только очень простенький FEMOCTAVE.

Хочу, однако, заметить, что если цель стоит именно в решении уравнений в частных производных, и метод нужно написать быстро, то стоит обратить внимание на неуниверсальные, но гибкие и лёгкие в использовании:

• FreeFEM++/FreeFEM3D
  
• GetDP
  
• Gerris

Если же программирование задачи надо исключить или свести к минимуму, могут пригодится «графические» среды (я, в данный момент, не могу ничего сказать об их гибкости/эффективности):

• Elmer
  
• Impact

На этом я заканчиваю этот обзор. Я намеренно исключил из обзора программное обеспечение предназначенное для других классов задач. Например, про что я знаю мало и рассказать не могу про R (статистика), среды для символьных вычислений, ПО для анализа и обработки изображений, ПО для кластерного анализа и распознавания образов, ПО для анализа генетических последовательностей (список можно продолжать). Буду рад поставить ссылки на соответствующие обзоры. Дополнение 2008.04.15: добавил в обзор Code_Aster, Elmer, FEATFLOW, FETK, Gerris, Impact, Mélina, Ofeli, Overture. Смотрите также: ☙ Сравнение программ для построения научных графиков